Chaos Comparison / Double Pendulum / Planar 3-Body Gravity
二重振り子では chaos は主に single system の instability, complexity, scrambling として見えます。
一方、N 体重力系では同じ chaos が transport geometry、bottleneck、avalanche、network-mediated propagation を持つ phase として現れます。
Key Thesis
両者とも Pesin relation 的な instability を持ち、noise とは分離できます。
しかし二重振り子では chaos の主役は subsystem information の崩れ方であり、
N 体重力系では chaos の主役は route, burst, geometry がどう組み替わるかに移ります。
weak / strong chaos
weak / intermediate / strong
KS と λ のほぼ一致
strong chaos の最速 front
Double Pendulum
強カオスでは情報共有が速まり、局所的で方向付きの情報流が見えにくくなる。
N-Body Gravity
intermediate で backbone、strong で multi-route へ移り、輸送相の差が前景に出る。
Shared Lesson
どちらも「ただランダムになる」のではなく、測る窓ごとに異なる秩序の崩れ方を見せる。
Comparison Lens
二重振り子は「時間方向の可読性」が消える系、N 体重力系は「空間的・因果的な輸送様式」が分岐する系。
同じ chaos でも、どの指標が主役になるかは系の自由度、相互作用の非局所性、観測窓によって変わります。
Overview
両ページとも 49 サンプルを基準に chaos strength を比較していますが、系の性格はかなり異なります。二重振り子は 1 つの装置の内部自由度、N 体重力系は複数体の相互作用と輸送を含む系です。
System A
System B
Main Difference
二重振り子では chaos は「読める方向の情報」を薄める働きとしてまず見えます。N 体重力系では chaos は「輸送経路そのもの」を作り替える働きとして見えます。
Double Pendulum
N-Body Gravity
In One Sentence
前者は single-object dynamics の内部比較として明快で、後者は nonlocal interaction が route, front, avalanche を伴って collective transport へ広がる点が決定的に異なります。
Formula Notebook
ここでは比較ページの中心になる指標を研究ノート風に並列表でまとめます。式は厳密導出ではなく、各図が何の proxy になっているかを読み取るための最小限の骨格です。
How To Read
左から順に二重振り子、N 体重力系、比較上の意味、実験で実際に出た数値例を並べています。数式そのものは似ていても、観測対象が subsystem なのか transport route なのかで読み方が変わります。
| 指標 | 二重振り子 | N 体重力系 | 比較上の意味 | 実験で使った数値例 |
|---|---|---|---|---|
| Lyapunov / KS |
λT = (1 / T) log ( ||δx(T)|| / ||δx(0)|| ) hKS ≈ Σi λi+ KS と λ がほぼ同一軸に乗り、instability そのものが主役になる。 |
λT = (1 / T) log ( ||δx(T)|| / ||δx(0)|| ) hKS ≈ Σi max(λi, 0) 同じ入口式だが、ここから front・burst・route の差を見る必要がある。 |
二重振り子では主役、N 体では transport phase への入口。 |
|
| Symbolic / Noise Separation |
Hperm = - (1 / log m!) Σπ p(π) log p(π) CLZ = c(n) log n / n Permutation entropy が noise とほぼ完全分離し、教材的に非常に明快。 |
Hperm = - (1 / log m!) Σπ p(π) log p(π) LZMA ratio = compressed / raw noise 分離には効くが、transport geometry の影響も強く単独では不十分。 |
どちらも noise ではないが、N 体では symbolic 指標の意味がより文脈依存になる。 |
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| Coarse-Grained Entropy |
Scg(t) = - Σk pk(t) log pk(t) dScg / dt stretching and folding の見え方が smooth spreading として現れる。 |
Scg(t) = - Σk pk(t) log pk(t) burst fraction, peak, duration 同じ entropy でも、event-driven burst concentration として読む方が自然。 |
式は同じでも、二重振り子は混合率、N 体は intermittent transport の proxy になる。 |
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| Information Flow |
I(θ1(t); θ2(t + τ)) TE2→1(τ) = I(X1(t+τ); X2(t) | X1(t)) ΔTEsurr = TEactual - TEshuffle strong chaos では MI は残るが TE は surrogate に近づく。 |
TEj→i(τ) = I(Xi(t+τ); Xj(t) | Xi(t)) PI(T) = I(Xt-T:t; Xt:t+T) Hgraph = - Σij pij log pij TE adjacency と centrality がそのまま transport geometry を表す。 |
二重振り子は local directionality loss、N 体は causal route organization が主題。 |
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| Spatial Front / Geometry |
natural spatial front is not primary subsystem lag and surrogate are primary 空間 front を入れなくても chaos の比較が完結する。 |
C(r, t) ∼ ⟨ |δxr(t)|2 ⟩ t*(r) ≈ t0 + r / vB Nbox(ℓ) ∼ ℓ-Dbox front, avalanche, geometry が phase の差を直接可視化する。 |
ここが最大の差。N 体だけが spatial transport observables を主役に持つ。 |
|
Metric By Metric
比較するときは数値の大小だけでは足りません。各指標がその系で何の proxy になっているかを見ないと、同じ chaos でも全く違う読みになります。
Lyapunov / KS
hKS ≈ Σ λi+
hKS + front + burst + TE network
λ と hKS がほぼ同じ軸に乗るので、instability を測るだけで chaos の主要像がかなり見える。
λ や hKS は必要だが、それだけでは不足で、front, burst, TE network を見て初めて相の違いが見える。
Noise Separation
Hperm = - (1 / log m!) Σ p(π) log p(π)
Hperm + LZMA ratio + coarse-graining dependence
Permutation entropy が noise と完全分離し、粗視化を変えても序列が保たれる。教材として非常に明快です。
noise ではないことは明瞭だが、Permutation entropy 自体は transport geometry の影響も受けるので、単独では chaos strength を言い切れない。
Entropy Production
Scg(t) = - Σk pk(t) log pk(t)
burst count, duration, peak, waiting time
強カオス側で位相空間の雲がより速く埋まり、stretching and folding の見え方が熱化的になる。
entropy production が event-driven burst に集中し、uniform diffusion より intermittent transport として読む方が整合する。
Information Flow
ΔTEsurr = TEactual - TEshuffle
TEj→i(τ), PI(T), Hgraph, centrality
strong chaos では MI は残るが TE は surrogate に近づき、局所 subsystem から見える方向性が失われる。
TE adjacency と centrality 自体が物理情報を持ち、intermediate の backbone と strong の multi-route を区別する主役になる。
Figure Pairs
同じ種類の図を並べると、二重振り子は「1 つの系の chaos strength 比較」、N 体は「輸送相の違い」を描いていることが視覚的に見えてきます。
Pair 1
二重振り子では初期条件ごとの複雑性と Lyapunov がほぼ同じ物語を語ります。N 体では同じ map が、その先の burst や transport phase の入口になります。
Pair 2
どちらも strong chaos 側で entropy growth が増えますが、二重振り子では smooth spreading、N 体では event-concentrated production が主題です。
Pair 3
二重振り子では subsystem 間の方向性が薄れることが重要で、N 体では network topology と centrality がそのまま物理意味を持ちます。
Pair 4
ここが最大の差です。二重振り子は 1 つの系の内部で information shape を比較するページで、N 体は system-wide transport mode を比較するページになっています。
Double Pendulum Verdict
二重振り子の比較は subsystem information の lag と surrogate でほぼ完結します。空間 front や route organization を導入しなくても、chaos の本質がかなり見える系です。
Takeaways
どちらも chaos の教材ですが、向いている問いは違います。何を知りたいかで、見るべき系も変わります。
1
Lyapunov、KS、complexity、surrogate を通して、chaos が noise ではなく fast scrambling だと学ぶには非常に明快です。
2
front, burst, TE network, avalanche, route reorganization を含めて、chaos が transport phase を作る様子を追えます。
3
カオスは均一な乱雑さではなく、観測窓ごとに異なる構造を持つ。違うのは、その構造が「情報の形」中心か「輸送の形」中心かです。