Key Thesis
カオスは「情報を消す」のではなく、
情報の形を変える。
強カオスでは Lyapunov 指数、KS エントロピー、圧縮複雑性、粗視化エントロピー生成が増えます。
ただし局所的で方向付きの情報流は弱まり、情報はより広く scramble された形で残ります。
Double Pendulum / Numerical Study / Chaos
二重振り子のカオスは、
何を測ると見えてくるのか。
同じ二重振り子でも、どの初期条件では弱く、どこでは強くカオスになるのか。
このページでは、49 個の初期条件に対する数値実験をまとめ、複雑性、情報生成率、
粗視化エントロピー、部分系情報流までを 1 本のストーリーとして読み解きます。
- 強カオスほど複雑性は高いが、方向付き情報流は逆に弱くなる
- 白色ノイズとカオスは、Permutation entropy で明確に分離できる
- shuffle surrogate test によって、本物の coupling と見かけの相関を切り分けられる
カオスは「情報を消す」のではなく、
7 × 7 グリッド
複雑性から surrogate まで
Pesin relation に近い
strong / weak slope 比
Weak chaos
秩序化した結合が残る
情報共有も transfer entropy も、時間順序を壊した surrogate よりかなり大きい。
Strong chaos
共有は速いが、方向は見えにくい
mutual information は残る一方、transfer entropy は surrogate に近づく。
Big Picture
複雑性、エントロピー、情報流がつながる
カオス性を 1 つの指標でなく、複数の窓から同時に見ると構造がはっきりする。
Core Message
強カオスほど「複雑で混ざる」。ただし「向きのある予測可能情報」はむしろ弱くなる。
このページは、Lyapunov 指数だけでは見えない二重振り子のカオス性を、複雑性と情報流の観点からまとめ直した結果ページです。
Overview
まず、どんな数値実験をしたのか
対象は等質量・等長の二重振り子です。時間発展は RK4 で追い、最大 Lyapunov 指数の tertile で weak chaos と strong chaos を切り分けました。
Experiment Setup
基本設定
- 状態変数
- [θ₁, ω₁, θ₂, ω₂]
- 時間刻み
- dt = 0.01
- 総ステップ数
- 18,000
- 捨てステップ
- 3,000
- 初期条件
- θ₁(0), θ₂(0) を 7 × 7 で走査
- 分類
- Lyapunov 指数の tertile で weak / strong に分割
Region Summary
weak chaos と strong chaos の平均像
Weak chaos
- λ₁ = 0.4167 ± 0.3799
- hKS = 0.4418 ± 0.3912
- LZMA ratio = 0.6663 ± 0.0433
- Permutation entropy = 0.2554 ± 0.0180
Strong chaos
- λ₁ = 1.3840 ± 0.0410
- hKS = 1.4256 ± 0.0471
- LZMA ratio = 0.7206 ± 0.0071
- Permutation entropy = 0.2785 ± 0.0143
同じ二重振り子でも、初期条件に応じてカオスの強さがかなり変わることが出発点です。
Findings
この資料で押さえたい 4 つの結論
8 本の実験は別々に見えて、実は 4 つの大きなテーマに収束します。まずはそこを先に読むと、各図の意味がつながります。
1
強カオスほど複雑性は高い
LZMA ratio、Lempel-Ziv complexity、Permutation entropy はすべて strong chaos 側で増え、Lyapunov 指数と正相関を示した。
2
情報生成率は λ とほぼ同じものを見ている
KS エントロピー近似と最大 Lyapunov 指数は r = 0.9986 でほぼ一致し、軌道不安定性と情報生成がつながった。
3
カオスはノイズではない
Permutation entropy では白色ノイズがほぼ最大値 1 を取り、カオスとは 100% 分離できた。粗視化を変えても相対序列は保たれた。
4
強カオスでは情報が速く広がり、向きは消える
mutual information peak は strong chaos で早いが、transfer entropy は surrogate に近づき、局所的な方向付き情報流は弱くなる。
Experiments 1-2
複雑性と情報生成率は、どこまでカオスを追えるか
最初の 2 本の実験では、まず複雑性指標が chaos strength と整合するかを見て、その背後にある情報生成率の指標として KS エントロピーを重ねています。
Experiment 1
カオス強度と複雑性の比較
strong chaos の方が weak chaos よりも、圧縮困難性、新規パターン生成率、局所順序複雑性のすべてで高い値を示しました。
- Lyapunov vs LZMA ratio: r = 0.7158
- Lyapunov vs Lempel-Ziv complexity: r = 0.6739
- Lyapunov vs Permutation entropy: r = 0.3479
- LZ 系は長距離の情報生成に強く、Permutation entropy は局所構造の乱れを見ている
Experiment 2
KS エントロピー近似と Pesin relation
Benettin 法で Lyapunov spectrum を推定し、正の指数和を KS エントロピー近似として比べると、最大 Lyapunov 指数とほぼ同じ形になりました。
hKS ≈ Σ λi+
- Lyapunov vs KS entropy: r = 0.9986
- weak chaos: hKS - λ₁ ≈ 2.5 × 10-2
- strong chaos: hKS - λ₁ ≈ 4.2 × 10-2
- 二重振り子では、軌道分離率と情報生成率がほぼ同じ軸に乗っている
Experiments 3-4
ノイズとの差と、粗視化に対する頑健性
カオスが本当に「力学的な複雑さ」なら、白色ノイズとは違うはずで、粗視化の取り方を変えても相対順序はある程度保たれるはずです。ここではそこを点検します。
Experiment 3
ランダムノイズ比較
同じ平均・標準偏差・長さを持つ白色ガウスノイズと比べると、Permutation entropy はノイズ側でほぼ最大になり、カオスと完全分離できました。
- Noise permutation entropy = 0.9980 ± 0.0003
- weak chaos = 0.2554 ± 0.0180
- strong chaos = 0.2785 ± 0.0143
- noise > chaos の share = 100.0%
Experiment 4
coarse-graining 依存性
LZMA ratio の絶対値はビン数に依存しますが、strong chaos > weak chaos、noise > chaos の序列は 4 から 256 bins まで維持されました。
- strong chaos > weak chaos は全ビンで成立
- noise > chaos も全ビンで 100%
- 差が最も見えやすいのは 64 から 128 bins 付近
- 絶対値よりも相対的な序列の方が物理的に意味がある
Experiment 5
coarse-grained entropy production を直接測る
位相空間に小さな初期分布を置き、セル占有確率から Shannon entropy S(t) を測ると、strong chaos の方が明らかに速く coarse-grained entropy を生成しました。
Entropy Growth
stretching and folding が熱力学的な見え方へ変わる
fine-grained では Liouville 的に保存される分布でも、粗視化すると強カオス側で急速にセルを埋め、観測可能な entropy が増えます。
- weak chaos: dS/dt = 0.0563
- strong chaos: dS/dt = 0.5955
- slope ratio strong / weak = 10.58
- occupied cells: 8 / 4096 → 308 / 4096
Experiments 6-7
部分系の情報流は、速さと方向で別の顔を見せる
θ₁ と θ₂ を部分系とみなし、まず excess mutual information で共有情報の立ち上がりと tail を見て、次に transfer entropy で方向付き情報流を見ます。
Experiment 6
mutual information decay
single-orbit の比較では、strong chaos の方が MI peak へ早く到達しました。ただし peak 後の tail はむしろ長く、単純な「情報が速く消える」という像にはなりませんでした。
- weak chaos peak lag = 1.60, normalized area = 7.8962
- strong chaos peak lag = 0.80, normalized area = 11.3314
- strong chaos は早く届くが、必ずしも早く消えない
Experiment 7
代表軌道平均と transfer entropy
5 本ずつの代表軌道で平均すると、strong chaos の MI peak が早い傾向は残ります。一方で transfer entropy の方向性は weak chaos の方が強く、strong chaos ではかなり弱い。
- weak chaos MI peak = 5.02 ± 6.39
- strong chaos MI peak = 0.40 ± 0.25
- directionality strength: weak 0.0017 ± 0.0007 / strong 0.0004 ± 0.0001
- 強カオスは fast propagation だが、局所方向性は弱い
Experiment 8
shuffle surrogate test で「本物の構造」を残す
最後に時間順序を壊した shuffled surrogate を actual trajectory と比べることで、見えていた MI / TE が本当に力学構造に由来するのか、それとも有限標本バイアスや見かけの相関なのかを切り分けます。
Surrogate Test
MI は残る。TE は strong chaos でかなり消える。
weak chaos では MI も TE も surrogate を大きく上回り、強い決定論的時間構造が残ります。strong chaos でも MI は本物ですが、TE は surrogate にかなり近づきます。
- weak MI peak: 0.7401 vs surrogate 0.0207
- strong MI peak: 0.1919 vs surrogate 0.0398
- weak TE excess area: 0.1351 vs surrogate 0.0029
- strong TE excess area: 0.0072 vs surrogate 0.0046
- TE empirical p: weak ≈ 0.077 / strong ≈ 0.262
What It Means
強カオスは、情報を壊すより scramble する
相関そのものは残ります。しかし時間順序を持ち、局所 subsystem からアクセスできる形の情報は薄れます。つまり strong chaos は fast scrambling and delocalization の像に近い。
- MI lag share > q95 は weak / strong ともに 100%
- TE lag share > q95 は weak 69.5%、strong 8.0%
- weak chaos は coherent information transport
- strong chaos は fast scrambling and delocalization
Takeaways
このページの読み終わりに残したいこと
二重振り子のカオス性は「未来が読めない」の一言では足りません。複雑性、情報生成率、混合、情報流を分けて見ると、何が増え、何が消えるのかがはっきりします。
A
カオスは情報生成として見える
Lyapunov 指数と KS エントロピー近似の一致は、軌道分離がそのまま情報生成率として見えていることを示す。
B
カオスはノイズではない
局所順序構造と coarse-graining を通しても、白色ノイズとカオスはきれいに分離される。
C
強カオスでは方向が消える
情報共有は速くなるのに、局所的で方向付きの予測可能情報はむしろ見えにくくなる。そこに scrambling の本質がある。