り～だ～物理学

Planar 3-Body Gravity / Numerical Study / Chaos

N体重力系のカオスは、
なぜ「情報輸送相」として読むと見えやすいのか。

3体重力の 49 軌道を weak・intermediate・strong chaos に分け、
Lyapunov 指数、OTOC、entropy production、transfer operator、avalanche、TE network を横断して整理すると、 カオスは単なる乱雑さではなく、輸送の幾何と因果構造を持つ相として見えてきます。

先に結論を見る 相の整理へ進む 一覧へ戻る
  • strong chaos は最速の butterfly front を持つが、輸送の向きは単純にならない
  • intermediate chaos は bottleneck backbone と broad-tail avalanche が最も明瞭に出る
  • edge-of-chaos は単一点ではなく、記憶・幾何・因果流がずれて極大化する帯として現れる

Key Thesis

カオスは「ノイズ」ではなく、
情報の運ばれ方そのものを変える。

strong chaos ではスクランブリングと burst front が強まり、 intermediate chaos では bottleneck backbone と filamentary transport が際立ちます。
つまりこの系では、chaos strength の違いがそのまま transport phase の違いとして読めます。

軌道本数 49

planar 3-body orbit

分類 3 相

weak / intermediate / strong

strong vB 0.1485

最速の butterfly front

PI peak λ1 ≈ 0.0762

記憶保持は弱カオス端で最大

Weak chaos

localized transport

front は遅く、局所的な構造と記憶が比較的保たれる。

Intermediate chaos

critical filamentary transport

bottleneck backbone と broad-tail avalanche が最もはっきり見える。

Strong chaos

distributed intermittent transport

burst front と multi-route spreading が現れ、輸送はより分散的になる。

Core Message

この 3 体重力系では、chaos の強さがそのまま「どう運ばれ、どう混ざるか」の違いとして現れる。

Lyapunov 指数、OTOC、burst、TE network をひとつにつなぐと、weak・intermediate・strong chaos は別々の輸送様式として整理できる。

Overview

まず、どんな数値実験だったのか

対象は planar 3-body gravitational system です。49 個の軌道を追跡し、Lyapunov 指数の tertile で weak・intermediate・strong chaos に分けて比較しています。

Experiment Setup

基本設定

対象系
planar 3-body gravitational system
サンプル数
49 orbit
積分刻み
dt = 0.01
解析刻み
sample_dt = 0.04
weak threshold
λ1 ≤ 0.0682
strong threshold
λ1 ≥ 0.0745

What Was Measured

見ている量

  • Lyapunov 指数 λ1 と KS entropy hKS
  • OTOC proxy C(r, t) と butterfly front vB
  • 粗視化 entropy Scg(t) と mixing
  • predictive information PI(T) と statistical complexity
  • TEj→i(τ)、centrality、spectral gap
  • avalanche CCDF、Dbox、front velocity

単に「カオスがあるか」を問うのではなく、カオスがどのような情報輸送と熱化様式を作るかを見ています。

Metric Primer

このページで使う式と指標の読み方

研究ノートとして読むときに必要な最小限の定義だけを先にまとめます。ここでの式は厳密導出よりも、「図が何を測り、どの軸が何を意味するか」を追うための読み替えです。

01 / Instability

Lyapunov 指数と KS entropy

λT = (1 / T) log ( ||δx(T)|| / ||δx(0)|| )

hKS ≈ Σi max(λi, 0)

λ1 は「微小摂動がどれだけ速く離れるか」、hKS は「軌道がどれだけ情報を生成するか」の proxy です。両者がそろって増えるなら、不安定性と複雑化が同じ方向に進んでいると読めます。

02 / Scrambling

OTOC と butterfly front

C(r, t) ∼ ⟨ |δxr(t)|2 ⟩

t*(r) ≈ t0 + r / vB

このページの OTOC は center-of-mass-relative position coordinates で評価した距離分解 proxy と考えるとよいです。front の傾きから vB を読み、立ち上がりの速さと伝播速度を分けて見ています。

03 / Mixing / Burst

entropy production と avalanche geometry

Scg(t) = - Σk pk(t) log pk(t)

P(S ≥ s) ∝ s1-τ

Nbox(ℓ) ∼ ℓ-Dbox

粗視化 entropy の傾きは mixing speed、CCDF の tail は rare large events の多さ、Dbox は cluster の細長さを示します。strong chaos の burst と intermediate の filamentary transport を切り分けるのに効く指標です。

04 / Causal Flow

TE network と edge-of-chaos

TEj→i(τ) = I(Xi(t+τ); Xj(t) | Xi(t))

PI(T) = I(Xt-T:t; Xt:t+T)

pij = wij / Σab wab, Hgraph = - Σij pij log pij

TE は向きのある情報流、PI は過去が未来をどれだけ予測できるか、graph entropy は flow weight の分散度を見ています。peak がずれて現れるなら、記憶・因果流・混ざり方が別々の点で最大になるという意味です。

Findings

このページで押さえたい 5 つの結論

全部の図を個別に読む前に、先に大きな結論を置くと全体がつながります。

1

カオスはノイズではない

Permutation entropy ではノイズがほぼ 1 に張り付く一方、カオス軌道は強い構造を保ち続ける。

2

スクランブリングの速さと輸送の形は別物

strong chaos は最速の front を持つが、輸送は単純な拡散ではなく burst 的で経路依存になる。

3

intermediate chaos が最も構造化される

broad-tail avalanche、bottleneck backbone、front velocity ≈ 0 が同時にそろい、critical filamentary transport に近い。

4

strong chaos は分散的な輸送へ移る

bottleneck collapse と multi-route spreading が現れ、distributed intermittent transport の相になる。

5

edge-of-chaos は一点ではなく帯

predictive information、graph entropy、statistical complexity の極大は少しずつずれ、役割の違う peak を作る。

Instability / Scrambling

まず見えるのは、不安定性とスクランブリングの骨格

Lyapunov 指数、KS エントロピー、OTOC を並べると、この系の chaos strength は確かに 3 相へ分かれます。ここで λ1 は λT = (1 / T) log ( ||δx(T)|| / ||δx(0)|| ) の長時間指標、hKS は情報生成率、vB は t*(r) ≈ t0 + r / vB の傾きとして読む量です。ただし、その差は「乱れの量」より「どんな front を作るか」に強く現れます。

Chaos Landscape

複雑性と不安定性は整合するが、意味はそれぞれ違う

  • KS entropy と Lyapunov 指数和は r ≈ 0.986 で整合し、Pesin relation 的な対応が成り立つ
  • LZ 系と permutation entropy は chaos と noise を分けるが、「完全ランダム化」を示しているわけではない
  • 強い不安定性は r2(0) ≈ 1.5, v2 / vcirc ≈ 0.95–0.98 近傍で出る
3体重力系の chaos landscape と複雑性比較
Lyapunov map と複雑性比較。強カオスでは圧縮困難性が上がるが、ノイズ化そのものではない。
3体重力系の KS エントロピーと Pesin 対応
KS エントロピーは Lyapunov 指数和と強く整合し、不安定性と情報生成率がつながる。

Butterfly Front

strong chaos は最速の front を持つが、front 自体は消えない

  • weak chaos: vB ≈ 0.0969
  • intermediate: vB ≈ 0.0919
  • strong chaos: vB ≈ 0.1485

strong chaos では OTOC の立ち上がりも butterfly front も速くなる。ただし front が壊れて均一化するのではなく、coherent front がより急峻に歪みながら進む。

3体重力系の OTOC と距離分解スクランブリング
OTOC では strong chaos の立ち上がりが速い一方、距離依存 front は依然として読み取れる。
3体重力系の butterfly front 比較
class-wise に再推定した butterfly front。strong chaos が最速、intermediate は最も遅い。

Burst / Avalanche / Geometry

burst は広い tail を持つが、長くは続かない

entropy production と finite-time Lyapunov burst を見ていくと、strong chaos では大きく長い burst が増えます。ここでは Scg(t) = - Σk pk(t) log pk(t) の傾きで mixing を、P(S ≥ s) と Nbox(ℓ) ∼ ℓ-Dbox で rare event の tail と cluster geometry を読んでいます。一方、空間的な avalanche として見直すと、intermediate chaos に最も broad-tail で filamentary な輸送が現れます。

Entropy Production

強カオスの entropy 生成は一様ではなく、局在した burst に集まる

  • coarse-grained entropy slope は strong / weak で 43.29 倍
  • strong chaos の burst は少数だが長く、大きな peak に集中する
  • したがって transport は uniform diffusion ではなく event-driven process と読むべき
3体重力系の粗視化エントロピー生成
strong chaos では occupied cells が burst 的に増え、entropy 生成も大きく偏る。
3体重力系の avalanche scaling
finite-time Lyapunov activity を burst とみなすと、strong chaos だけが明瞭に heavy-tail 寄りになる。

Spatial Avalanche

intermediate chaos は critical filamentary transport に最も近い

  • intermediate の size exponent は 1.79 で broad tail が見えやすい
  • duration exponent は 8.66 と急で、large avalanche は長寿命ではない
  • Dbox は全クラスほぼ 1 で、cluster は compact blob ではなく path-like
  • strong chaos だけ front velocity に有限 tail が現れ、propagating burst mode が混ざる
intermediate chaos の avalanche CCDF
intermediate の CCDF。size は broad tail、duration は急減衰で rapid redistribution を示す。
intermediate chaos の avalanche cluster shape
cluster area と gyration radius はスケーリングを保ち、filamentary transport を示唆する。
intermediate chaos の fractal dimension 分布
Dbox は 1 近傍に集中し、transport corridor 的な幾何が支配的になる。
strong chaos の avalanche front velocity 分布
strong chaos では front velocity の有限 tail が現れ、burst front の伝播が部分的に始まる。

Information Flow / TE Network

情報流は「速いほど単純」ではなく、backbone と route の形に分かれる

mutual information と transfer entropy の lag 構造を見ると、strong chaos は共有の立ち上がりが速いが、方向付きの因果流はむしろ拡散して読みづらくなります。ここで TEj→i(τ) = I(Xi(t+τ); Xj(t) | Xi(t)) は「j から i へどれだけ新しい予測情報が渡るか」を表し、network では weighted adjacency と spectral gap から backbone の有無を見ています。TE network へ落とすと、この差が bottleneck と hub の違いとして見えます。

Lag-Resolved Flow

strong chaos は共有を速めるが、向きのある流れは薄める

  • MI peak excess は strong の方が大きいが、MI area は weak の方がやや広い
  • TE total area は weak の方が大きく、strong では局所的な方向付き flow が見えにくくなる
  • 情報は消えるのではなく、より distributed に scramble された形へ変わる
3体重力系の相互情報量と transfer entropy
strong chaos では MI peak は高いが、TE の方向性は長く残らない。
3体重力系の TE networks
平均 TE adjacency。3 クラスとも単一 community だが、weight の分散と route の分布が違う。

Centrality

intermediate は backbone、strong は multi-route に寄る

  • weak chaos: bottleneck / hub は node 1
  • intermediate: node 0 の betweenness = 0.5 で backbone が最も明瞭
  • strong: betweenness はほぼ 0 に潰れ、eigenvector centrality は複数ノードへ分散
  • spectral gap は intermediate が最大で、最も早く混ざる backbone transport を示す
intermediate chaos の TE network centrality
intermediate では bottleneck と hub が同じ node へ集中し、single backbone transport が最もはっきり見える。
strong chaos の TE network centrality
strong では bottleneck が潰れ、influential node が複数に割れて distributed propagation に寄る。

Edge Of Chaos / Phase Picture

edge-of-chaos は、記憶・幾何・因果流の peak が並ぶ帯として現れる

predictive information、graph entropy、statistical complexity の極大は少しずつずれています。ここで PI(T) = I(Xt-T:t; Xt:t+T) は記憶、Hgraph = - Σij pij log pij は flow weight の分散、complexity は秩序と乱雑さの折衷として読んでいます。つまり、この系の edge-of-chaos は一点でなく、違う機能が別々に最大化される帯状の領域です。

3体重力系の transfer operator と mixing
transfer operator では strong chaos が最短 mixing timescale を持つが、intermediate も gap が大きく backbone 的な mixing を示す。
3体重力系の edge-of-chaos 指標
predictive information は弱カオス端、graph entropy は中間、statistical complexity と TE はやや強い側で peak を持つ。

Weak chaos

localized transport

  • slow front
  • short avalanche
  • 比較的保たれた記憶
  • 局所的な instability

Intermediate chaos

organized critical transport phase

  • broad-tail avalanche
  • filament geometry
  • bottleneck backbone
  • front velocity ≈ 0

Strong chaos

intermittent turbulent transport phase

  • fastest butterfly front
  • burst propagation
  • multi-route spreading
  • distributed thermalization

Big Picture

この系で起きているのは、chaos の量の違いではなく、transport phase の違いかもしれない

intermediate chaos は organized critical transport、strong chaos は distributed intermittent transport として整理できる。
つまり、N体重力系のカオスは「どれだけ乱れるか」よりも、「どんな route で情報が伝わり、どこで bottleneck が崩れるか」を見るとよく分かる。

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Gravitational Transport Appendix

重力系として読むと、avalanche と transport の意味が少し変わる

ここからは実験メモの追記に対応する補論です。N 体重力系では local front をそのまま SOC 的に読むより、escape・energy exchange・resonant corridor を含む nonlocal transport として再定義した方が、今回の結果とよく整合します。

01 / Why Gravity Is Different

重力系では local propagation の直観が壊れやすい

V(r) ∼ - 1 / r

  • long-range で finite interaction radius を持たない
  • non-extensive なので局所 front だけでは輸送を捉えにくい
  • escape particle が出ると density support と geometry が時間依存で変わる

したがって、front velocity や cluster geometry は格子系と同じ意味では読めません。bounded phase と escape phase を分けて考える必要があります。

02 / Redefining Activity

何を avalanche seed と呼ぶかを設計し直す

|ΔEi| > θ, |Δri| > θr, |ΔLi| > θL, Ei > 0

重力系では close encounter、slingshot、evaporation、escape、core collapse が直接 transport event になります。したがって avalanche の seed は finite-time Lyapunov burst だけでなく、energy jump、radial transport、angular-momentum exchange、escape event でも定義できます。

03 / Geometry

Dbox ≈ 1 や front velocity ≈ 0 は、むしろ重力系らしい

  • filamentary avalanche は resonant escape corridor と読める
  • Dbox ≈ 1 は compact blob でなく radial jet や corridor transport を示す
  • front velocity ≈ 0 は nearest-neighbor 不在ではなく network-mediated coupling を示す

今回見えた filament geometry や zero-front-like redistribution は、local wave の不在というより global resonance coupling の表れとみなす方が自然です。

04 / Adaptive Network

TE network は重力輸送の方が本質を捉えやすい

wij ∼ 1 / rijα

t < tevap, Nbound(t), fesc(t)

重力相互作用は nonlocal で dynamically rewiring されるため、固定格子 front より TE network の方が transport physics に近い記述になります。実装上は co-moving core frame、adaptive graph、interaction-weighted graph のいずれかで再定義するのが適切です。

Escape Cascade

escape は単なる loss ではなく、gravitational evaporation cascade になりうる

  • 1 粒子の escape が energy redistribution、binary formation、further escape を誘発しうる
  • long-range coupling、marginal stability、negative specific heat は criticality を生みやすい
  • core-collapse 近傍では bursty relaxation と intermittent escape が特に出やすい

したがって、escape active な相では avalanche は open-system transport として読むべきです。bounded only な解析と混ぜると、front や network の意味が崩れます。

Mapping Back

今回の結果を重力輸送として読むと、対応はかなり明瞭になる

  • filamentary avalanche → resonant escape corridor
  • front velocity ≈ 0 → nonlocal gravitational coupling
  • bottleneck backbone → dominant resonant transport channel
  • strong chaos finite front → collective ejection burst

この読み替えに立つと、current page の weak / intermediate / strong chaos は「chaos 強度」以上に「transport geometry の違い」としてよく整理できます。

Next Analysis

次にやるべきなのは、bounded transport と escape transport を分けた再計測

  • escape avalanche distribution と escape cluster size の測定
  • position ではなく energy exchange で組んだ energy-flow network
  • 近接 encounter をもとにした resonant transport graph
  • fesc(t) と avalanche の対応を見る bound / unbound phase transition 解析

要点は、重力系では transport 自体が structure formation だということです。filament、core、halo、escape jet そのものが transport geometry なので、今回の結果はむしろ重力系 transport physics として自然に読めます。