Mapping
複素関数は点の計算であり、平面の変形でもある
複素平面の格子をそのまま写すと、関数が「どこを引き伸ばし、どこを折り返し、どこで飛ばすか」が一度に見えてきます。
Complex Analysis / Mapping / Grid / Conformal View
複素関数は、
平面そのものを曲げる。
点 z = x + iy を 1 つずつ計算するだけでは見えにくいことも、格子全体を w = f(z) に通すと急に分かりやすくなります。
左の複素平面を右の出力平面へ写し、z2、z3、1 / z、ez、sin z、log z が格子をどう曲げるかを比較できます。
- 左は入力平面 z、右は出力平面 w = f(z) を同時表示する
- 格子線の曲がり方から、複素関数の伸び縮みや回転が直感的に見える
- 逆数や対数のように、特異点や枝切りを持つ関数の癖も確認できる
Geometry
角度を保つ場所と、壊れる場所を見分ける
解析関数は多くの点で角度を保ちますが、特異点や枝切りの近くでは格子の振る舞いが急に変わります。
まず見るべきこと
同心円や放射線がどんな曲線へ変わるか、原点の近くが圧縮されるのか吹き飛ぶのか、負の実軸で切れ目が出るのかを追うと、関数ごとの差が掴みやすくなります。
Core Idea
複素関数は「数式」より先に「平面の変形」として見ると、役割の違いがかなり読みやすくなる。
実軸方向の線、虚軸方向の線、特別な点 1・i・-1・-i を同時に眺めると、回転、圧縮、伸長、周期、枝切りの位置が一目で分かります。
Viewer
複素平面の格子を変形する
関数、表示範囲、格子の細かさを変えながら、左の入力平面が右でどんな形へ写るかを観察します。左キャンバスにマウスを置くと、その点の像も確認できます。
複素数 z を関数に通し、出力平面 w への写り方を見ます。
現在の式
見どころ
Input Plane
入力平面 z
青: 実部方向の線
橙: 虚部方向の線
点 1 / i / -1 / -i を表示
Output Plane
出力平面 w = f(z)
格子の曲がり = 関数の作用
マウス: ---
現在の関数
代表点 f(1 + i)
変形の特徴
注意点
Reading
複素平面の見方
複素関数を読むときは、式を追うだけでなく、格子・同心円・放射線・特異点がどう振る舞うかを見ると理解しやすくなります。
Complex Plane
複素数は平面の点
z = x + iy は、横方向が実部、縦方向が虚部の点です。複素関数は、その点を別の点へ送る平面の変形と見なせます。
Analytic
解析関数は角度を保ちやすい
特異点を除けば、細かい格子の交差角が保たれることが多く、これが等角写像の直感になります。
Singularity
逆数と対数は原点に注意
1 / z は原点で発散し、log z は原点で未定義です。さらに log z では負の実軸に枝切りが入り、線のつながりが切れます。
Comparison
関数ごとに格子の癖が違う
z² と z³ は角度を倍化し、e^z は縞を円筒状に巻き、sin z は周期性と双曲的な広がりを同時に持ちます。
Reading Tip
最初は「どこが危ないか」と「どこが規則的か」を分けて見ると追いやすい
原点や負の実軸のように振る舞いが急に変わる場所を先に押さえ、そのうえで格子の向きや間隔がどう変わるかを見ると、複素関数ごとの幾何学的な役割が見やすくなります。